miércoles, 18 de marzo de 2009

Area Bajo la Curva

El concepto de área lo hemos manejado ampliamente en cursos básicos, de hecho para las figuras geométricas como el rectángulo el cálculo de su área se define como el producto de su base por su altura, del mismo modo para calcular el área de un triángulo multiplicamos su base por su altura y al resultado lo dividimos entre dos. Para calcular el área de cualquier polígono (regular e irregular) solo debemos triangular (construir triángulos en su área), calcular el área de cada uno de ellos y sumarlas...
En todas las situaciones anteriores el proceso para el cálculo del área es relativamente simple, sin embargo cuando tenemos una figura como la siguiente en la cual uno o varios de sus lados que limitan la región en la cual queremos calcular el área son curvas, no tenemos un proceso claro.

La gráfica corresponde a la función

Por lo tanto debemos proponer intuitivamente un proceso similar a la triangulación (explicada en el primer párrafo de este artículo), es decir, vamos a "rectangular" el área... Este método consiste en trazar varios rectángulos que aproximen el área de la región deseada, esto lo podemos ver en las siguientes gráfica...


En ambas gráficas podemos ver que el área calculada va a tener pequeños márgenes de error, en la primera (rectángulos amarillos) vemos que estamos calculando un área mayor mientras que en la segunda (rectángulos verdes) calculamos un área menor...
En ambas situaciones podemos identificar que la base de todos los rectángulos es de 0.25 unidades mientras que la altura es fácil de obtener usando un simple evaluación de funciones:

De esta manera podemos proponer la siguiente tabla para el área aproximada de los rectángulos verdes y de los rectángulos amarillos.
Rectángulos amarillos Rectángulos verdes
Base Altura Área Base Altura Área
0.25 f(-1) = 3 0.75 0.25 f(-.75) = 3.0781 0.769525
0.25 f(-.75) = 3.0781 0.769525 0.25 f(-.5) = 2.875 0.71875
0.25 f(-.5) = 2.875 0.71875 0.25 f(-.25) = 2.4844 0.6211
0.25 f(-.25) = 2.4844 0.6211 0.25 f(0) = 2 0.5
0.25 f(0) = 2 0.5 0.25 f(.25) = 1.5156 0.3789
0.25 f(.25) = 1.5156 0.3789 0.25 f(.5) = 1.125 0.28125
0.25 f(.5) = 1.125 0.28125 0.25 f(.75) = 0.9219 0.230475
0.25 f(.75) = 0.9219 0.230475 0.25 f(1) = 1 0.25
Área total: 4.25 Área total 3.75
Esto nos lleva a concluir que el área bajo la curva entre las rectas x=-1 ; x=1 y el eje de las "x" debe se un valor en el intervalo
3.75 < Área < 4.25
Si aumentamos el número de rectángulos, el intervalo en el cual el área se encuentra se verá disminuido...







La siguiente tabla muestras las aproximaciones al valor del área bajo la curva cuando incrementamos el número de rectángulos.
Área: aproximación mediante rectángulos
No. de rectángulos Rectángulos verdes Rectángulos amarillos
16 3.875 4.125
32 3.9375 4.0625
40 3.95 4.05
50 3.96 4.04
100 3.98 4.02
250 3.992 4.008
500 3.996 4.004
1000 3.998 4.002
Los resultados anteriores nos van conduciendo cada vez más a poder determinar con precisión el valor del área, el Cálculo nos brinda el concepto del límite, el cual nos puede ser de mucha ayuda para poder determinar con total exactitud el área bajo la curva...
El proceso que hemos seguido es calcular las áreas de todos y cada uno de los rectángulos trazados por tanto podemos afirmar que una buena aproximación del área bajo la curva está dada por la expresión

Donde Ar es la suma de todas las áreas de los rectángulos, "delta x" es la base del rectángulo y f(xn) es la altura.
El área bajo la curva será exacta cuanto el número de rectángulos "n" sea infinito y por tanto el área bajo la curva estará dada por la expresión:

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