miércoles, 18 de marzo de 2009

Area Bajo la Curva

El concepto de área lo hemos manejado ampliamente en cursos básicos, de hecho para las figuras geométricas como el rectángulo el cálculo de su área se define como el producto de su base por su altura, del mismo modo para calcular el área de un triángulo multiplicamos su base por su altura y al resultado lo dividimos entre dos. Para calcular el área de cualquier polígono (regular e irregular) solo debemos triangular (construir triángulos en su área), calcular el área de cada uno de ellos y sumarlas...
En todas las situaciones anteriores el proceso para el cálculo del área es relativamente simple, sin embargo cuando tenemos una figura como la siguiente en la cual uno o varios de sus lados que limitan la región en la cual queremos calcular el área son curvas, no tenemos un proceso claro.

La gráfica corresponde a la función

Por lo tanto debemos proponer intuitivamente un proceso similar a la triangulación (explicada en el primer párrafo de este artículo), es decir, vamos a "rectangular" el área... Este método consiste en trazar varios rectángulos que aproximen el área de la región deseada, esto lo podemos ver en las siguientes gráfica...


En ambas gráficas podemos ver que el área calculada va a tener pequeños márgenes de error, en la primera (rectángulos amarillos) vemos que estamos calculando un área mayor mientras que en la segunda (rectángulos verdes) calculamos un área menor...
En ambas situaciones podemos identificar que la base de todos los rectángulos es de 0.25 unidades mientras que la altura es fácil de obtener usando un simple evaluación de funciones:

De esta manera podemos proponer la siguiente tabla para el área aproximada de los rectángulos verdes y de los rectángulos amarillos.
Rectángulos amarillos Rectángulos verdes
Base Altura Área Base Altura Área
0.25 f(-1) = 3 0.75 0.25 f(-.75) = 3.0781 0.769525
0.25 f(-.75) = 3.0781 0.769525 0.25 f(-.5) = 2.875 0.71875
0.25 f(-.5) = 2.875 0.71875 0.25 f(-.25) = 2.4844 0.6211
0.25 f(-.25) = 2.4844 0.6211 0.25 f(0) = 2 0.5
0.25 f(0) = 2 0.5 0.25 f(.25) = 1.5156 0.3789
0.25 f(.25) = 1.5156 0.3789 0.25 f(.5) = 1.125 0.28125
0.25 f(.5) = 1.125 0.28125 0.25 f(.75) = 0.9219 0.230475
0.25 f(.75) = 0.9219 0.230475 0.25 f(1) = 1 0.25
Área total: 4.25 Área total 3.75
Esto nos lleva a concluir que el área bajo la curva entre las rectas x=-1 ; x=1 y el eje de las "x" debe se un valor en el intervalo
3.75 < Área < 4.25
Si aumentamos el número de rectángulos, el intervalo en el cual el área se encuentra se verá disminuido...







La siguiente tabla muestras las aproximaciones al valor del área bajo la curva cuando incrementamos el número de rectángulos.
Área: aproximación mediante rectángulos
No. de rectángulos Rectángulos verdes Rectángulos amarillos
16 3.875 4.125
32 3.9375 4.0625
40 3.95 4.05
50 3.96 4.04
100 3.98 4.02
250 3.992 4.008
500 3.996 4.004
1000 3.998 4.002
Los resultados anteriores nos van conduciendo cada vez más a poder determinar con precisión el valor del área, el Cálculo nos brinda el concepto del límite, el cual nos puede ser de mucha ayuda para poder determinar con total exactitud el área bajo la curva...
El proceso que hemos seguido es calcular las áreas de todos y cada uno de los rectángulos trazados por tanto podemos afirmar que una buena aproximación del área bajo la curva está dada por la expresión

Donde Ar es la suma de todas las áreas de los rectángulos, "delta x" es la base del rectángulo y f(xn) es la altura.
El área bajo la curva será exacta cuanto el número de rectángulos "n" sea infinito y por tanto el área bajo la curva estará dada por la expresión:

INTEGRAL

integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.


Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo)
Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1, con f(x) = √x. La pregunta es:
¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?
Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será
.
Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √1⁄5, √2⁄5, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0.6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales . La notación

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).
Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x) = 2⁄3x3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.
Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.
A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.

Sumas de Riemann

Sumas de Riemann
- Si P = { x0, x1, x2, ..., xn} es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:
• R(f, P) = f(tj) (xj - xj-1)
donde tj es un número arbitrario en el intervalo [xj-1, xj].

la suma de Riemann corresponde geométricamente con la suma
de las áreas de los rectángulos con base xj - xj-1 y altura f(tj).

Veocidad y Aceleracion

La velocidad es la magnitud física que expresa la variación de posición de un objeto en función del tiempo, o la distancia recorrida por el objeto por unidad de tiempo. Se suele representar por la letra . La velocidad puede distinguirse según el lapso considerado, por lo cual se hace referencia a la velocidad instantánea, la velocidad media, etcétera.1 La unidad de velocidad, en el Sistema Internacional de Unidades, es el metro por segundo: ó .


Velocidad v, aceleración a y distancia recorrida S. La gráfica muestra la función velocidad respecto al tiempo, la pendiente de la curva azul será la aceleración y el área bajo la curva entre dos abscisas será el espacio recorrido.
En términos precisos, para definir la velocidad de un objeto debe considerarse no sólo la distancia que recorre por unidad de tiempo sino también la dirección y el sentido del desplazamiento, por lo cual la velocidad se expresa como una magnitud vectorial.









Aceleración
En mecánica, se define como aceleración a la magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa con que aumenta o disminuye la velocidad de un móvil en función del tiempo. Sus dimensiones son longitud/tiempo² y como unidades, según el sistema internacional, se utiliza el m/s².
Un objeto no puede seguir una trayectoria curva a menos que esté sufriendo una cierta aceleración, ya que si ésta no existiese su movimiento sería rectilíneo. Asimismo, el que un objeto incremente o disminuya su velocidad implica necesariamente la presencia de una aceleración (positiva si acelera, negativa si frena).
No debe confundirse la aceleración con la velocidad, puesto que, aunque son conceptos estrechamente relacionados, son distintos: Mientras la velocidad indica la variación de la posición de un cuerpo respecto al tiempo, la aceleración nos muestra la variación de dicha velocidad. Además, no han de compartir forzosamente ni dirección ni sentido.


Aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente de la curva de representación velocidad-tiempo.


La distancia es una magnitud escalar que mide la relación de lejanía entre dos puntos o cuerpos. En el espacio euclídeo la distancia entre dos puntos coincide con la longitud del camino más corto entre dos puntos, sin embargo, eso no nos sirve como definición formal de distancia, ya que para la definición de longitud es necesaria la de la distancia. Por eso en este artículo se acude a una definición formal de distancia. Además en espacios de geometrías más complejas el concepto de distancia y el de longitud de una curva no tienen porqué coincidir.

velocidad y aceleracion

La velocidad es la magnitud física que expresa la variación de posición de un objeto en función del tiempo, o la distancia recorrida por el objeto por unidad de tiempo. Se suele representar por la letra . La velocidad puede distinguirse según el lapso considerado, por lo cual se hace referencia a la velocidad instantánea, la velocidad media, etcétera.1 La unidad de velocidad, en el Sistema Internacional de Unidades, es el metro por segundo: ó .


Velocidad v, aceleración a y distancia recorrida S. La gráfica muestra la función velocidad respecto al tiempo, la pendiente de la curva azul será la aceleración y el área bajo la curva entre dos abscisas será el espacio recorrido.
En términos precisos, para definir la velocidad de un objeto debe considerarse no sólo la distancia que recorre por unidad de tiempo sino también la dirección y el sentido del desplazamiento, por lo cual la velocidad se expresa como una magnitud vectorial.

Aceleración
En mecánica, se define como aceleración a la magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa con que aumenta o disminuye la velocidad de un móvil en función del tiempo. Sus dimensiones son longitud/tiempo² y como unidades, según el sistema internacional, se utiliza el m/s².
Un objeto no puede seguir una trayectoria curva a menos que esté sufriendo una cierta aceleración, ya que si ésta no existiese su movimiento sería rectilíneo. Asimismo, el que un objeto incremente o disminuya su velocidad implica necesariamente la presencia de una aceleración (positiva si acelera, negativa si frena).
No debe confundirse la aceleración con la velocidad, puesto que, aunque son conceptos estrechamente relacionados, son distintos: Mientras la velocidad indica la variación de la posición de un cuerpo respecto al tiempo, la aceleración nos muestra la variación de dicha velocidad. Además, no han de compartir forzosamente ni dirección ni sentido.


Aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente de la curva de representación velocidad-tiempo.


La distancia es una magnitud escalar que mide la relación de lejanía entre dos puntos o cuerpos. En el espacio euclídeo la distancia entre dos puntos coincide con la longitud del camino más corto entre dos puntos, sin embargo, eso no nos sirve como definición formal de distancia, ya que para la definición de longitud es necesaria la de la distancia. Por eso en este artículo se acude a una definición formal de distancia. Además en espacios de geometrías más complejas el concepto de distancia y el de longitud de una curva no tienen porqué coincidir.